Her sakallıyı baban sanma: Temel oranı ihmal yanılgısı

Muayenehanede doktorun karşısında sessizce oturuyorsunuz. Doktor üzgün bir ifadeyle konuşmaya başlıyor:

“Test sonuçlarınız geldi. Maalesef, pozitif!”

“Hasta mıyım yani, emin misiniz?”

Başını sallıyor: “Testin doğruluğu çok yüksek. O yüzden, maalesef hemen hemen eminim. Tedaviye başlamamız lazım. Bu nadir görülen bir hastalık olduğu için kesin bir tedavi henüz bulunamadı, ama elimizden geleni yapacağız.”

Boğazınız kurumuş, yutkunuyorsunuz. Birkaç saniye ikiniz de sessizce oturuyorsunuz. Sonra aklınıza birşey geliyor.

“Yapılan testle kanımdaki bir maddeyi ölçüyorsunuz değil mi?”

“Evet. Bu hastalık her zaman bu maddenin üretilmesine sebep olur. Madde mevcutsa test muhakkak tespit eder.”

“Peki başka sebeple oluşmaz mı bu madde?”

“Nadiren, yüzde bir ihtimalle genetik sebeplerle de olur, hastalıkla ilgisi olmadan.”

“Ama…” Duraksıyorsunuz. Şoka rağmen kafanızın dişlileri çalışmaya başlıyor. Doktor acıyan gözlerle size bakıyor. Kötü haber alanların ilk yaptığı şey inkar etmektir zaten, biliyor.

“Size şimdi bir sevk…” diye başlarken sözünü kesiyorsunuz.

“Hastalık nadir görünüyor demiştiniz. Ne kadar nadir? Toplumdaki görülme sıklığı ne kadar?”

“Yani şimdi, ne bileyim….”

Doktorun yüzü asılıyor. Sorgulayıcı hastalardan hoşlanmadığını yüzünden okuyorsunuz. Ama sözkonusu olan sizin hayatınız, cevapsız kalmayı kabul etmiyorsunuz. Bekliyorsunuz.

“Onbinde bir filandır herhalde.”

“Tamam!” Doktorun masasından bir kağıt ve kalem kapıp birşeyler karalamaya başlıyorsunuz. Doktor sabırsızlanıyor, ama oralı olmuyorsunuz.

Birkaç saniye sonra yüzünüze bir gülümseme geliyor. Başınızı kaldırıp doktora bakıyorsunuz.

“Test sonuçlarına bakarak, hasta olmam ihtimali ne kadardır sizce?”

“Ee, dedim ya, yüzde doksandokuz filan işte.”

“Hayır” diyorsunuz gülümseyerek. “Sadece yüzde bir!”

“Saçmalamayın!” Doktor kaşlarını çatıyor artık. Ama aldırmadan açıklıyorsunuz.

“Bakın, mesela bir milyon kişilik bir topluluk alalım ele. Hastalığın onbinde bir görüldüğünü söylediniz. O zaman bir milyon içinde yüz kişide bu hastalığı görmeyi bekleriz.”

Doktor donuk bir ifadeyle bakıyor, bitse de gitse gibisinden.

“Buna karşılık kalan 999 900 kişi hasta değil. Fakat yüzde bir ihtimalle, testin sağlıklı insanlarda pozitif sonuç verdiğini söylediniz. O zaman, hasta olmayanlar içinde 9999 kişide testin pozitif çıkmasını bekleriz.”

Doktorun kaşları hâlâ çatık, ama hafifçe başını sallıyor.

“Başka bir deyişle, bir milyon kişiye test yapsak, 10 099 kişi pozitif çıkar. Oysa gerçekten hasta olan sadece 100 kişi var. O zaman, testin pozitif çıkmasına bakarak hasta olmam ihtimali 100/10 099, yani yüzde bir bile değil!”

Hevesle elinizdeki kağıdı doktora uzatıyorsunuz. Şöyle bir bakıp bırakıyor.

“Olmaz öyle şey,” diyor doktor, “yanlışınız var.”

“Hesap açık doktor.”

“Hesapla olmaz bu işler efendim, tecrübe önemli. Biz bu kadar boşuna mı okuduk? Neyse, bekleyen hastalarım var, siz gidin biraz düşünün, sonra isterseniz tedaviye başlarız.”

Arkanızdan kapıyı çekerken “ukala dümbeleği” diye fısıldadığını duyuyorsunuz. Aldırmadan gülümsüyorsunuz. Başka bir uzman bulmanız gerekecek. Ama önce, parka gidip bu güzel günün tadını çıkaracaksınız.

Bu farazi diyalogda doktorun yaptığı hata epeyce yaygın bir yanılgıdır ve “temel oranı ihmal yanılgısı” olarak bilinir. İlk bakışta bir paradoks gibi görülüyor: Hasta olan herkesi tespit edebilen, hasta olmayanlarda ise sadece %1 yanılma payı olan bir test pozitif çıktığında, hasta olma ihtimali nasıl çok düşük çıkabilir?

Basitçe söylersek, temel oranın, yani rastgele seçilen bir insanın hasta olması ihtimalinin onbinde bir gibi çok küçük bir sayı olması sebebiyle. Yanlış alarm ihtimali sadece yüzde bir bile olsa, temel orandan çok daha yüksek. Bu yüzden de gerçek hastaların yüz katı kadar yanlış alarm gözlüyoruz. Bunu şematik olarak şöyle gösterebiliriz.

Yanılgının bize doğal gelmesinin sebeplerinden birisi de neden-sonuç ilişkisini tersine çeviriyor olmamız. Doktorun yüzde yüz dediği, hasta isek testin pozitif çıkması olasılığı. Ama bizim bilmemiz gereken, test pozitif çıktıysa hasta olma ihtimalimiz.

Daha gündelik bir örnek verelim: Bütün olimpik haltercilerin vücutları kaslıdır. “Kaslı olma”yı haltercilik testi diye düşünelim. Bir olimpik halterci için bu testin sonucu kesinlikle pozitiftir. Ama kaslı olan herkes olimpik halterci değildir. Rastgele seçilen kaslı birinin olimpik halterci olması ihtimali yine yüzde birden azdır.

Bunun için bir deyimimiz bile var: Her sakallıyı baban sanma! Temel oranı ihmal yanılgısı, özünde, her sakallıyı babamız sanmaktır.

O zaman doktorun yaptırdığı testin hiç faydası yok mu? Elbette var. Test yapmadan önce o hastalığa sahip olmamız olasılığı onbinde birdi, testten sonra yüzde bire yükseldi. Bu durumda iyi bir doktor size korkuya mahal olmadığını, ama daha kesin bilgi verecek muayeneler yapmak gerektiğini söyleyecektir.

Diyelim testimizin yanlış alarm oranı (sağlıklı olanlarda pozitif çıkma ihtimali) yüzde bir değil de, on binde bir olsun. Bu durumda bir milyon kişiden 100 kişi gerçekten hasta olacak, 100 sağlıklı kişide ise yanlış alarm verilecek. Böylece test sonucu pozitif ise hasta olma ihtimali 100/(100+100) = %50 olacak. Peki yanlış alarm oranı yüz binde bir ise? O da sizin ev ödeviniz.

Mizansenimizde doktora haksızlık yaptığımızı düşünebilirsiniz. Ancak temel oranı ihmal hatası, herkes gibi, doktorlar arasında da yaygın. Bunun en iyi bilinen örneklerinden biri, Harvard’da genç bir tıp öğrencisi olan Ward Casscells’in ve çalışma arkadaşlarının 1978’de yayınladığı araştırma.

Casscells, Harvard Tıp Okulu’nun koridorlarında dolaşıp, çevirdiği 60 hekim ve tıp öğrencisine şu soruyu sormuş: “Diyelim ki, toplumda yaygınlığı 1/1000 olan bir hastalığı tespit etmek için kullanılan bir test var ve bu testin hasta olmayanlarda pozitif çıkması ihtimali %5. Bu testi uyguladığımızda ve pozitif çıktığında, uygulanan kişinin hasta olması ihtimali nedir? Kişinin semptomları ve işaretleri hakkında hiç bir bilginiz olmadığını varsayın.”

Bu soruyu yukarıdaki yöntemle cevaplayabiliriz. Bin kişilik bir gruba test uyguladığımızı düşünelim. Bunların arasında bir kişi gerçekten hasta. Kalan 999 kişinin %5’inde, yani yaklaşık 50 kişide test yanlış alarm verecek. O zaman aranan ihtimal 1/51 olur, yani %2’den az.

Casscells ve arkadaşlarının görüştüğü altmış doktordan sadece onbiri cevabı doğru verebilmiş. Buna karşılık 27 doktor doğru olasılığın %95 olduğunu savunmuş, yani temel oranı ihmal yanılgısına düşmüş. Diğer cevaplar çok değişken; %0.095 de diyen var, %99 da. Cevapların ortalaması ise %56; gerçek olasılığın otuz katı.

Bunu basit ve önemsiz bir matematiksel oyun gibi görmek doğru olmaz. Temel oranı ihmal hatasının ciddi tıbbi sonuçları olabilir. Hasta olma ihtimalini olduğundan daha büyük zannederek riskli bir tedaviye başlanabilir ve hastanın hayatı gereksiz yere tehlikeye atılabilir. En azından, böyle bir teşhis hastada gereksiz bir endişe ve bunalım yaratır. O yüzden bir hekimin olasılıkları doğru tahmin edebilmesi ve aktarabilmesi şart.

İnsan zihni belirsizlikler karşısında bocalar. Bu bocalamanın üstesinden gelmek için bazı “kestirmeler” (heuristics) oluşturmuştur. Bu kestirme yollar, fazla düşünmeye gerek kalmadan hüküm vermemizi sağlar. Bu sayede tepki süremiz kısalır, önemli kararları kolayca verebiliriz.

Ancak bu kestirmeler bizi sık sık hataya da sürükler. 1970’lerden başlayarak davranışçı psikologlar, insanların hangi temel kestirmeleri kullandıklarını, bunların nasıl çalıştığını ve ne gibi düşünce hatalarına yol açtığını incelemeye başladılar. Temel oranı ihmal yanılgısı da bu bağlamda epeyce araştırıldı. Bu yanılgının, ve benzeri olasılık tahmini yanılgılarının (önceki bir yazımızda bahsettiklerimiz gibi), “temsiliyet kestirmesi” (representativeness heuristics) denen bir zihinsel şemadan kaynaklandığı düşünülüyor.

Temsiliyet kestirmesi, gördüğümüz bir numunenin, verilen bir açıklamaya uyma olasılığının tahmin edilmesidir. Şöyle açıklayalım: Diyelim Cüneyt 32 yaşında, atletik, motosiklete biniyor, güzel bir sarışınla çıkıyor. Şunlardan hangisi daha muhtemel? (a) Cüneyt bir öğretmen (b) Cüneyt bir futbolcu.

Çoğunluk, Cüneyt’in futbolcu olduğunu söyleyecektir. Ama şunu düşünün: Yüzbinlerce öğretmene karşılık sadece yüzlerce futbolcu var. Temel oranları ihmal yanılgısına düşüyoruz. Cüneyt’in öğretmen olma ihtimali, futbolcu olma ihtimalinin belki bin katı.

Neden bu yanılgıya düşüyoruz? Çünkü kafamızda öğretmenler ve futbolculara dair önyargılarla oluşturduğumuz bir kalıp var. Verilen tarif futbolcu kalıbını çok daha iyi temsil ediyor, tarifteki özelliklerin her iki meslekle de hiç bir ilgisi olmamasına rağmen. Öte yandan tarifi “saçı dökülmüş, evli, bilim kurgu okuru” şeklinde değiştirirsek muhtemelen cevapların çoğu değişecektir, çünkü bu yeni tarif kafamızdaki öğretmen kalıbını daha iyi temsil ediyor.

Hastalık testi örneğinde yapılan hata, Cüneyt örneğinde de geçerli. Cüneyt hakkında sorulan soru şu: “Bu tarife göre, Cüneyt’in futbolcu/öğretmen olması ihtimali nedir?”. Oysa zihnimizin duyduğu soru bunun tam tersi: “Cüneyt futbolcu/öğretmen ise, bu tarifin doğru olması olasılığı nedir?”

Temel oranı ihmal yanılgısının başka bir örneği olarak, yine psikoloji anketlerinde kullanılan bir soruyu, “taksi problemi”ni ele alalım.

Bir taksi gece vakti kaza yapıp kaçıyor. Şehirde iki taksi şirketi var: Yeşiller ve Maviler. Bütün taksilerin %85’i Yeşil, %15’i ise Mavi. Kazanın şahidi çarpan taksinin Mavi olduğunu söylüyor. Mahkeme, kazanın gerçekleştiği gecenin görüş şartlarında deney yaptırarak şahidin güvenilirliğini ölçtürüyor. Şahit her iki rengi %80 olasılıkla doğru teşhis ediyor, %20 olasılıkla yanılıyor.

Çarpan arabanın, şahidin ifadesine uygun olarak, gerçekten Mavi olması olasılığı nedir?

Yukarıda kullandığımız yöntemle bunu hesaplayabiliriz. Yüz taksiden onbeş tanesi Mavi’dir; şahit bunların onikisini (%80) doğru, üçünü (%20) ise yanlış teşhis edecek. Seksenbeş Yeşil taksiden altmışsekizini doğru teşhis ederken, onyedisinin yanlış olarak Mavi olduğunu iddia edecek, yani yanlış alarm verecek.

Şahit 100 taksiden 12+17, yani 29 aracın Mavi olduğunu iddia etti, ama sadece 12’si gerçekten Mavi. O zaman, şahit Mavi dediyse, aracın gerçekten Mavi olması ihtimali 12/(12+17) = %41’dir.

Şematik olarak gösterirsek

Ancak, pek çok kişi, şahidin haklı olması ihtimalini %80 civarı tahmin ediyor, yani taksilerin temel oranlarını ihmal ediyorlar. Nitekim, Yeşil ve Mavi taksiler eşit sayıda olsalardı bu cevap doğru olurdu (size ödev!), ama değiller.

Bu örnek, temel oranı ihmal yanılgısının nasıl hukuki sorunlar çıkarabileceğini gösteriyor. Gerçek bir adli vakada bir tahlil, test, veya şahit ifadesi delil olarak kritik rol oynuyorsa, avukat, savcı veya yargıcın temel oranı ihmal etmemeye, gerçek olasılıkları hesaplamaya zaman ayırmaları çok önemli. Aksi takdirde suçsuzlar haksız yere mahkum olabilirler.

Aynı yanılgı daha ciddi insan hakları ihallerine de yol açabilir. Şöyle bir senaryo düşünün: Hükümet terörle mücadele kapsamında çok gelişkin bir yüz tanıma sistemini devreye soktuğunu ilan ediyor. Sokaklarda, terminallerde, havaalanlarında, velhasıl bütün kamusal alanlardaki gözetleme kameraları sürekli olarak görüntü çekmekte, ve bu görüntüler bir merkezde analiz edilip arananların resimleriyle karşılaştırılmakta. Hükümet, bu sistemin %99 oranında isabetli oluşuyla övünüyor. Bütün kamuoyu bu atılımı alkışlıyor.

Ama siz, Yalansavar okuru olduğunuz için, yapılan ciddi hatayı hemen farkediyorsunuz. Temel oranı bilmeden, yüz tanıma sistemine bel bağlamak doğru değil. Biliyoruz ki teröristlerin temel oranı çok düşük. Diyelim, on bin kişiden sadece biri terörist (80 milyon içinde 8000 terörist – yüksek bir tahmin). Bu olasılıklar yazımızın başındaki hastalık teşhisi probleminin aynısı, o yüzden cevap elimizde hazır: Bu harika yüz tanıma sisteminin terörist diye işaretlediği birisinin gerçekten terörist olması ihtimali sadece %1.

Eğer yüz teşhisi sadece ilk aşamaysa, arkasından başka kontroller yapılacaksa bu o kadar da büyük bir sorun olmayacaktır. Ancak güvenlikle ilgili konularda toplumun akıldışılığa ve paranoyaya esir olması çok kolaydır. Hükümet, belki bilgisizlikten, belki kamuoyuna birşey yapıyor görüntüsü vermek için, veya belki baskı aracı olarak kullanma niyetiyle, bir teröristle beraber doksandokuz masumu tutuklamaktan çekinmeyebilir. Hatta, buradaki temel hataya işaret ederek uyarıda bulunanları ihanetle ve teröristlere yardım etmekle suçlayabilir.

Çok iyi bilinen bir gerçeği bu vesileyle tekrar hatırlıyoruz: Hukukun ve demokrasinin doğru işlemesi için toplumda esaslı bir temel eğitim ve bilimsel birikim olması şarttır. Aksi halde, siz bir yanlışı gösterdiğinizde, düzeltmeyi bırakın, neden bahsettiğinizi anlamazlar bile.

Meraklısına notlar

Bu yazıda teknik adıyla aslında Bayes teoreminden bahsediyorum. Bu teorem, şartlı olasılıklar verildiğinde, şartları ters çevirme formülünü verir. Yani mesela, hasta isek testin pozitif çıkma olasılığını ters çevirip, test pozitifse hasta olmamız olasılığını bulmak için Bayes formülünü kullanırız. Matematiksel ayrıntılara burada girmek istemedim, ilgilenenler daha matematiksel bir açıklamayı Wikipedia’dan okuyabilirler (İngilizce) veya Khan Academy’nin Türkçe açıklama videosunu seyredebilirler.

Dikkatli okurlar “hastalık ihtimali onbinde birdir” dedikten sonra, “onbin kişi alırsak bir tanesi hasta olacak” dememizi yadırgayabilirler, çünkü tabii ki bu ifade tam doğru değil. Rastgele seçilmiş onbin kişi arasında hiç hasta olmayabilir; iki hatta üç hasta da olabilir. Hasta sayısını bir rastgele değişken olarak düşündüğümüzde haklı bir itiraz, ama buradaki kastımız farklı. Olasılıkları reel sayılar yerine tam sayılarla ifade ettiğimizde bu problemleri anlamak ve çözmek nispeten daha kolay.

Temel oranı ihmal yanılgısının bilişsel kökenlerini inceleyen psikologlardan biri olan Gerd Gigerenzer’e göre, bu ve benzeri olasılık yanılgıları, insanların ondalıklı sayıları kullanmakta zorlanmalarından kaynaklanıyor. Bunun yerine problemi sayılamaya dayanan bir şekilde (“on bin kişiden biri hasta”) ifade etmek insan zihnine daha uygun oluyor ve doğru cevabı bulmak kolaylaşıyor. Bu sayılama yaklaşımında problemi öyle ifade ediyoruz ki, her alt grupta tamsayılar bulunmasını sağlıyoruz. Böylece ondalıklı sayıları çarpmanın bilişsel yükünden kurtuluyoruz, ve bizim için daha doğal olan bir yöntem kullanmış oluyoruz.

Kaynaklar

• Ward Casscells, B.S., Arno Schoenberger, M.D., and Thomas B. Graboys, M.D. Interpretation by Physicians of Clinical Laboratory Results. N Engl J Med 1978; 299:999-1001 November 2, 1978 DOI: 10.1056/NEJM197811022991808
• Gerd Gigerenzer. How to Improve Bayesian Reasoning Without Instruction:
  Frequency Formats. Psychological Review, 102 (4), 1995
• Daniel Kahneman. Hızlı ve Yavaş Düşünme. Varlık Yayınları.